Question

已知a.b.c是不全相等的实数，若a.b.c成等差数列，求证：1/a，1/b，1/c不成等差数列。

已知a.b.c是不全相等的实数，若a.b.c成等差数列，求证：1/a，1/b，1/c不成等差数列。

Answer 1

反证法。假设1/a，1/b，1/c成等差数列，且公差为d1。
由于a,b,c不全相等，故d1不等于零。

又a，b，c成等差数列，可设公差为d2，同理，d2不等于零。
那么a=b-d2，c=b+d2。
1/a=1/b-d1
1/c=1/b+d1

即
1/(b-d2)=1/b-d1
1/(b+d2)=1/b+d1

对以上两式进行整理，可得
b=b-d2-d1*b*(b-d2)
b=b+d2+d1*b*(b+d2)

进一步整理，可得
d1*b*d2=0

由于b不为零，故d1*d2=0，故d1为零或d2为零，这与前述矛盾。故1/a，1/b，1/c不成等差数列。
证毕。