若a,b,c,是不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞ab+bc+ca
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a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
因为a,b,c,是不全相等的实数，所以（a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2不都为0，那么和一定大于0，所以
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca，所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca。
因为a,b,c,是不全相等的实数，所以（a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2不都为0，那么和一定大于0，所以
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca，所以a²+b²+c²＞ab+bc+ca。
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(a-b)^2≥0
(b-c)^2≥0
(c-a)^2≥0
a,b,c,是不全相等的实数，∴以上三式不同时划等号
∴(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ＞ 0
∴a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ca+a^2 ＞ 0
∴2a^2+2b^2+2c^2 ＞ 2ab+2bc+2ca
∴a^2+b^2+c^2 ＞ ab+bc+ca
(b-c)^2≥0
(c-a)^2≥0
a,b,c,是不全相等的实数，∴以上三式不同时划等号
∴(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ＞ 0
∴a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ca+a^2 ＞ 0
∴2a^2+2b^2+2c^2 ＞ 2ab+2bc+2ca
∴a^2+b^2+c^2 ＞ ab+bc+ca
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