Question

设a,b,c为不全相等的实数,x=a^2-bc,y=b^2-ac,z=c^2-ab,证明x,y,z至少有一大于0

Answer 1

设a、b、c为不全相等的实数，x=a²-bc，y=b²-ac，z=c²-ab，证明：x、y、z至少有一大于0。

证明：用反证法证明，
假设x、y、z都小于0，那么必有：
x+y+z<0············①
但是：
x+y+z
=(a²-bc)+(b²-ac)+(c²-ab)
=1/2×[2(a²-bc)+2(b²-ac)+2(c²-ab)]
=1/2×[2a²-2bc+2b²-2ac+2c²-2ab]
=1/2×[(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)]
=1/2×[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
由于a、b、c为不全相等的实数，所以上式中括号中三项之和必定大于0，即：
x+y+z>0
与①相矛盾。故原命题成立。

Answer 2

假设x y z 都小于0
那么
a^2-bc<0
b^2-ac<0
c^2-ab<0
也就是
a^2<bc ①
b^2<ac ②
c^2<ab ③
因为a^2 b^2 都不小于0,所以①乘上②不影响不等式方向
即a^2*b^2<a*b*c^2④
因为c^2不小于0
所以把③带入④不影响不等式方向
a^2*b^2<a*b*a*b
显然不成立,所以假设不成立
如果X Y Z等于0,也是假设后,直接带入,就可以根据a,b,c为不全相等的实数否定了.