Question

如图1,点C、B分别为抛物线C1:y1=x平方+1,抛物线C2:y2=a2x平方+b2x+c2的顶点。分别

分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=AD。
（1）求点A的坐标（2）如图2，若将抛物线C1：“y=x平方+1”改为抛物线“y1=2x平方+b1x+c1”。其他条件不变，求CD的长和a2的值。
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Answer 1

（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C1：y1=x2+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；

（3）根据（1）（2）的结论可知，a2=-a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2× 

3a1，然后代入进行计算即可得解．详细解答如下解：（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，

∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，

∴AC=BC，BC=BD，

∵AB=BD，

∴AC=BC=AB，

∴△ABC是等边三角形，

 

∴∠ACE=30°，

设AE=m，

则CE=3AE=3m，

∵y1=x2+1，

∴点C的坐标为（0，1），

∴点A的坐标为（-m，1+3m），

∵点A在抛物线C1上，

∴（-m）2+1=1+3m，

整理得m2-3m=0，

解得m1=3，m2=0（舍去），

∴点A的坐标为（-3，4）；欢迎采纳