Question

因式分解（余式定理）

设多项式 f(x)除以x-1,x²-2x+3的余式分别为2，4x+6,则f(x)除以（x-1)(x²-2x+3)的余式为？请帮忙解答，要一个详细的解答步骤。
不好意思啊 还是不太明白，f(x)=g(x)(x-1)(x²-2x+3)+a(x²-2x+3)+4x+6 我明白g(x)(x-1)(x²-2x+3) 但是余数是a(x²-2x+3)+4x+6就不太懂了 因为是除以(x-1)(x²-2x+3)，所以余式应该是除以x-1的余式2加上除以(x²-2x+3)的余式4x+6 为啥变成了a(x²-2x+3)+4x+6呢？我知道你的答案是正确的 但实在不明白啊

Answer 1

f(x)除以x-1的余式为2，由余数定理知f(1)=2
又因为f(x)除以x²-2x+3的余式为4x+6，
因此可设f(x)=g(x)(x-1)(x²-2x+3)+a(x²-2x+3)+4x+6
f(1)=a*(1-2+3)+4+6=2a+10=2
所以a=-4
所以f(x)除以(x-1)(x²-2x+3)的余式为a(x²-2x+3)+4x+6=-4(x²-2x+3)+4x+6=-4x²+12x-6

因为f(x)除以x²-2x+3的余式为4x+6
所以可以这样设

Answer 2

一个多项式 f(x) 除以 mx – n 时,所得的余数 等于 f(n/m).
所以除以x -1 所以余数是 f(1) = 2
因为
f(x)除以x-1,x²-2x+3的余式分别为2，4x+6
设f(x) = (x-1)(x^2-2x+3)q(x) + b(x^2-2x+3) + 4x+6
b(x^2-2x+3) + 4x+6 为余数
f(1) = 2
所以 2b + 10 =2
b = -4
所以余式 = -4x^2+12x-6