Question

大学物理刚体转动求转动惯量

一匀质矩形薄板,边长分别为a和b,质量为m,试计算刚体对于过几何中心o垂直于平面的轴线z的转动惯量

Answer 1

匀质的薄板，相对于垂直于板所在平面的轴的转动惯量可以用正交轴定理计算：
过几何中心的平行于两边的两条轴x,y.
由正交轴定理：Iz=Ix+Iy,I表示转动惯量。
Ix=(1/12)*m*a^2
Iy=(1/12)*m*b^2
Iz=(1/12)*m*(a^2+b^2)

正交轴定理的证明如下：
Iz=∫ρ(x²+y²)dv;Ix=∫ρ(y²+z²)dv;Iy=∫ρ(x²+z²)dv
又因为，平板上，z≡0
所以，Ix,Iy化简为：Ix=∫ρy²dv;Iy=∫ρx²dv
所以Iz=∫ρ(x²+y²)dv=∫ρx²dv+∫ρy²dv=Ix+Iy.

也可以用平行轴定理计算：
将原木板均匀的分成4块与原木板相似的小木板，设原木板转动惯量为I,小木板的转动惯量就是I/16,(都是绕过几何中心的垂直轴的转动惯量）
由平行轴定理I=4*I/16+4*(m/4)*((a/4)^2+(b/4)^2)
解得：I=(1/12)m*(a^2+b^2)

还可以用定积分来算：
I=∫ρ(x²+y²)dv=∫ρ(x²+y²)dxdy=∫dy∫ρ(x²+y²)dx |(-b/2,+b/2)
=∫ρ(by²+(b^3)/12)dy |(-a/2,a/2)=ρ*(ab^3+ba^3)/12=ρab*(a^2+b^2)/12
=m(a^2+b^2)/12

Answer 2

这种模型是要按圆盘的模型加以修正来计算的。

手边没有资料！

Answer 3