Question

一道复杂的追击问题有物理竞赛经历的来！！！太难了！追击问题

在x/y平面上，起始时刻，猎狗在坐标(0,0)点，猎物在坐标(0,h)点，猎物匀速直线运动，方向是x轴，速度v1,猎狗始终朝着猎物追赶，速度绝对值是v2,(v2>v1)，求猎狗追上猎物，其运动轨迹的方程。

Answer 1

以O为原点，OB为x轴负半轴，OA为y轴正半轴建立坐标系
设狗跑动的轨迹方程为y=y(x)
轨迹上任意一点的切线方程是：Y-y=y’(X-x)
因为狗的跑动方向始终朝着兔，设t时刻兔子所在位置是(0,80t)
则该点在切线上，80t-y=y’(0-x)----(1)
设狗的速度是兔的k倍，则80kdt=根号(1+y’²)dx---(2)
(1)式对x求导得：80dt/dx-y’=y’’(0-x)-y’
dt/dx=-xy’’/80
与(2)式联立得：-kxy’’=根号(1+y’²)

令z=y’，-kxz’=根号(1+z²)
dz/根号(1+z²)=(1/k)dx/(-x)
ln[z+根号(1+z²)]=(-1/k)ln(-x)+lnC1
z+根号(1+z²)=C1/[(-x)^(1/k)]
因为开始追时狗的速度方向没x轴正向，即y’|x=-200 = 0
代入条件z|x=-200 = 0 得，C1=200^(1/k)
z+根号(1+z²)=200^(1/k)/[(-x)^(1/k)]，取倒数
-z+根号(1+z²)=[(-x)^(1/k)]/[200^(1/k)]
相减：z=(1/2){200^(1/k)/[(-x)^(1/k)]-[(-x)^(1/k)]/[200^(1/k)]}
积分：y=(1/2){-200^(1/k)[k/(k-1)](-x)^[(k-1)/k]+200^(-1/k)[k/(k+1)](-x)^[(k+1)/k]}+C2
代入初始条件：x=-200，y=0
0=(1/2){[-200k/(k-1)]+[200k/(k+1)]}+C2
解得：C2=200k/(k²-1)
猎狗跑动的轨迹方程是：
y=(1/2){-200^(1/k)[k/(k-1)](-x)^[(k-1)/k]+200^(-1/k)[k/(k+1)](-x)^[(k+1)/k]}+200k/(k²-1)

Answer 2

太夸张了 而我又吧高数还给我们老师了 爱莫能助 用数学方法解 是一个数学的求曲线方程吧 高三的时候有的教 我现在是忘光了

Answer 3

哥，明显轨迹是圆。每次猎狗的速度方向都是圆的切线方向。具体解法没兴趣想，猜测答案是(x-h)2+y2=h2

Answer 4

不知道你们学过微积分没 这题真的很麻烦

先用t表示猎狗的坐标 然后计算微积分 最后消去t

||代表积分,sqrt是开方，^n是n次方

x=||t×v1×v2/sqrt（h^2+(t*v1)^2）dt
y=||h×v2/sqrt（h^2+(t*v1)^2）dt

我把微积分计算了 剩下的你消去试试

设m=t×v1/h
x=v2×h/v1×ln（m+sqrt（m^2+1））
y=v2/v1*sqrt(1+m^2)