Question

已知实数a,b满足（a√1-b^2）+（b√1-a^2）=1,求证a^2+b^2=1

用三角函数解，请解释设a=sina，b=sinb的原因

Answer 1

因为根号下大于等于0
所以1-a²>=0
-1<=a<=1
这和sinx的值域相等
所以可以设a=sinx

下面证明此时b=cosx
1-a²=1-sin²x=cos²x
则sinx√(1-b²)+b√cos²x=1
sinx√(1-b²)+bcosx=1
sinx√(1-b²)=1-bcosx
两边平方
sin²x-b²sin²x=1-2bcosx+b²cos²x
(1-sin²x)-2bcosx+b²(cos²x+sin²x)=0
cos²x-2bcosx+b²=0
(cosx-b)²=0
所以b=cosx

所以a²+b²=sin²x+cos²x=1

Answer 2

设a=sin(x) b=sin(y) 0<x,y<π/2
代入化简 得 sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)=1 即sin(x+y)=1
所以x+y=π/2 所以sin(x)=sin(π/2-y)=cos(y)

a^2+b^2=sin(x)^2+sin(y)^2=sin(y)^2+cos(y)^2=1

更简单了
a*sqr(1-b^2)=1-b*sqr(1-a^2)
两边平方 得a^2=1+b^2-2b*sqr(1-a^2)
整理得 b^2-2b*sqr(1-a^2)+1-a^2=0
即（b-sqr(1-a^2))^2=0
即b-sqr(1-a^2)=0
所以b^2=1-a^2
所以a^2+b^2=1

Answer 3

a√1-b^2=1-（b√1-a^2）,
两边同时平方,所以,a方-a方b方=1+b方-a方b方-2b√1-a^2,
所以b方-2b√1-a^2+1-a方=0,所以(b-√1-a^2)方=0,
即b=√1-a^2,
两边同时平方,
所以b方=1-a方,即:a方+b方=1.