Question

用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=<n^2(n+1)^2>/4

thx

Answer 1

n=1，代入验证，省略

假设n=k成立，k>=1
1^3+2^3+3^3+...+k^3=k^2(k+1)^2/4

则n=k+1
1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3
=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]/4
=(k+1)^2*(k+2)^2/4
=(k+1)^2*[(k+1)+1]^2/4

综上
1^3+2^3+3^3+...+n^3=n^2(n+1)^2/4

Answer 2

n=1时 1^3=1 <=1^2(1+1)^2/4=1
n=1时成立
设n=k时成立 1^3+2^3+3^3+...+k^3=<k^2(k+1)^2/4 成立
n=k+1时 即要证明
1^3+2^3+3^3+...+k^3+（k+1)^3 <=(k+1)^2 (k+2)^2/4
1^3+2^3+3^3+...+k^3+（k+1)^3 <=k^2(k+1)^2/4 +（k+1)^3
=(k+1)^2[k^2/4 + k+1]=(k+1)^2[k^2+4k+4]/4=(k+1)^2 (k+2)^2/4
命题得证

Answer 3

1-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*[n(n+1)]/2
（1）当n=1时1=(-1)^0成立
即当n=1时上式成立
（2）假设当n=K（K为正自然数）时上式成立即
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2
则当n=K+1时
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^K*(K+1)(K+2)/2
既当n=K+1时上式也成立
综上
由（1）（2）知
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n(n+1)/2