Question

行列式的证明题

第一行ax+ay ay+bz az+bx
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz
证明他等于a+b³乘以一个行列式 第一行 x y z 第二行y z x 第三行z x y

Answer 1

先拆第一行，得
ax ay az
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz

然后分别拆第二行，得
ax ay az
ay az ax
az+bx ax+by ay+bz
+
ax ay az
bz bx by
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
ay az ax
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
bz bx by
az+bx ax+by ay+bz

然后分别拆第三行，得
ax ay az
ay az ax
az ax ay
+
ax ay az
ay az ax
bx by bz
+
ax ay az
bz bx by
az ax ay
+
ax ay az
bz bx by
bx by bz
+
by bz bx
ay az ax
az ax ay
+
by bz bx
ay az ax
bx by bz
+
by bz bx
bz bx by
az ax ay
+
by bz bx
bz bx by
bx by bz

记D=
x y z
y z x
z x y

则上面八项中：
第一项=a^3*A，
第二项=0（第一行和第三行线性相关），
第三项=0（第二行和第三行线性相关），
第四项=0（第一行和第三行线性相关），
第五项=0（第一行和第二行线性相关），
第六项=0（第一行和第二行线性相关），
第七项=0（第二行和第三行线性相关），
第八项=b^3*A（交换第一行和第二行，然后交换新的第一行和第三行）

所以行列式的值=(a^3+b^3)*A，即为所求
（你写的结果中a应改成a^3。a,b地位对称，所以不可能是a+b^3）

Answer 2

证:左边=bc³+ab³+ca³-ba³-cb³-ac³
=c³(b-a)+ab(b²-a²)-c(b³-a³)
=c³(b-a)+ab(b+a)(b-a)-c(b-a)(b²+ba+a²)
=(b-a)(c³+ab²+a²b-b²c-abc-a²c)
=(b-a)[c(c²-a²)-b²(c-a)-ab(c-a)]
【=(b-a)[c(c+a)(c-a)-b²(c-a)-ab(c-a)]
】
=(b-a)(c-a)(c²+ac-b²-ab)
=(a-b)(a-c)[(c+b)(c-b)+a(c-b)]
【(b-a)(c-a)=(a-b)(a-c)
两因式同时改变符号】
=(a-b)(a-c)(c-b)(c+b+a)
=(a+b+c)(a-b)(a-c)(c-b)
=右边

Answer 3

　　这是Jacobi行列式的基本性质，在数学分析教材里有详细的证明的。如果你学的是高等数学，记住这个公式即可。