Question

两道高等代数题目求教

1.A,C为n级正定矩阵，B为实对称矩阵，且AB+BA=C。证明：B为正定矩阵。
2.设C为实可逆矩阵。证明：A为正定矩阵当且仅当CTAC也为正定矩阵。

Answer 1

1. 首先注意到实对称阵的特征值都是实数，因此只要说明B的特征值都是正实数。设a是B的一个特征值，有对应的特征向量X，即：BX = aX。则
X^tABX + X^tBAX = X^tA(aX) + (BX)^tAX = aX^tAX + aX^tAX = 2aX^tAX
而据已知条件，
X^tABX + X^tBAX = X^tCX > 0
且X^tAX > 0（此二处利用A、C的正定性）
故a>0。

2. A正定当且仅当对所有向量X，X^tAX>0。而C可逆，于是对任何向量X，总有向量Y，使得 X=CY。于是 “C^tAC正定”=> Y^t(C^tAC)Y>0 => X^tAX>0 ，反之亦然。

Answer 2

1.证：A,C为n级正定矩阵
X‘AX X‘CX 也为正定二次型 故
X‘AX>0 X‘CX >0
又因B为实对称矩阵
因此
X‘(AB+BA)X= X‘CX >0
B为正定矩阵
2.CTAC?????????