Question

两道高等代数的计算题，求大神解答

Answer 1

1、1)F11=E11，F12=E11+E12，F21=E11+E12+E21，F22=E11+E12+E21+E22
所以E到F的过渡矩阵为P=
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
2)M=(E11,E12,E21,E22)(-3,5,4,2)T
=(F11,F12,F21,F22)P-1(-3,5,4,2)T
=(F11,F12,F21,F22)(-8,1,2,2)T
所以M在基{F11,F12,F21,F22}下的坐标为(-8,1,2,2)T
2、（1）计算det(A-λE)=λ^3(λ-4)=0,所以λ1=λ2=λ3=0,λ4=4
当λ=0时解方程AX=0得特征向量p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,0,-1)T,p3=(0,0,1,-1)T
当λ=4时解方程(A-4E)X=0得特征向量p4=(1,1,1,1)T
(2)因为A恰有4个线性无关的特征向量p1,p2,p3,p4，所以σ可对角化
T=(p1,p2,p3,p4)=
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
-1 -1 -1 1
且T-1AT=diag(0,0,0,4)