Question

2道高等代数题

Answer 1

1. 事实上这四个条件都是等价的
(a) Imσ = Imσ^2
(b) dim Imσ = dim Imσ^2
(c) V = Kerσ + Imσ
(d) V = Kerσ (+) Imσ
由于 Imσ 包含 Imσ^2, 显然 (a) <=> (b)
(d) => (c) 也是显然的, (c) => (d) 只需利用 dim Imσ + dim Kerσ = n = dim(Imσ + Kerσ) 即可
所以需要小心证明的只是 (a,b) 和 (c,d) 之间的等价性
先证 (a) => (c), 任取 x∈V, σ(x)∈Imσ = Imσ^2, 所以存在 y∈V 使得 σ(x)=σ^2(y), 然后 x = [x-σ(y)] + σ(y), 容易验证 x-σ(y)∈Kerσ
再证 (c) => (a), 任取 x∈Imσ, 存在 y∈V 使得 x=σ(y), 而 y 又可以表示成 y=u+v 的形式, 其中 u∈Kerσ, v=σ(z)∈Imσ, 所以 x = σ[u+σ(z)] = σ^2(z) ∈ Imσ^2.

2. 假定你考虑的是复多项式.
显然 f(x)=0 仅有的常数解
如果 f(x) 不是常数, 那么有唯一的因子分解 f(x) = k(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n), 不妨要求Re a_1 <= Re a_2 <= ... <= Re a_n
对条件的两边同时做标准因子分解, 利用唯一性可得 a_1, a_2, ..., a_n 是公差为 1 的等差数列, 且 a_1=-1, a_n=1, 所以 f(x) = k(x+1)x(x-1), k是非零复数
上述两种情况恰好可以合并成 f(x) = k(x+1)x(x-1), k∈C

Answer 2

1. 见http://gdjpkc.xmu.edu.cn/FlashShow.aspx?cID=43&dID=425&lID=1287 第9题

2. 由(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)，所以f(1)=0，f(-2+1)=0，故f(x)=(x-1)(x+1)g(x)。代入(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)得，(x-1)x(x+2)g(x+1)=(x+2)(x-1)(x+1)g(x)，所以xg(x+1)=(x+1)g(x)，得g(0)=0，g(x)=xh(x)，进而f(x)=x(x-1)(x+1)h(x)，代入(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)，得h(x+1)=h(x)。若deg(h(x))>0，则0，-1，-2，...，-n，... 是h(x)的根，与h(x)是多项式矛盾。故h(x)=c(非零常数)。从而f(x)=cx(x-1)(x+1)。