Question

高数中关于“聚点”定义的疑惑。

同济大学那本教材说得不明确：某点P的去心邻域内，若总有点集E中的点，则称P是E的聚点。
什么叫总有？是存在的意思还是任意的意思？是不是说如果P的邻域中只要有一点属于E（即与E有交集），那么即使余下的其他点都不属于E，都仍可以把P中所有的点（包括属于的和未属于的点）都叫做E的聚点？？
举个例子：点集E的范围为1<X+Y<2,点P的邻域半径为1<X+Y<10,明显P与E有交集吧，那么P是E的聚点，这样讲点P的（2，10）范围内的点也是E的聚点了吗？？这些点明显不属于E啊！

Answer 1

①“什么叫总有？是存在的意思还是任意的意思？”
答：是“总存在”的意思.
②“P是E的聚点”，本质上是说，在P的附近聚集着E的无穷多个点.
这是因为，P的去心邻域的半径可以任意，任意取、任意小.
③“是不是说如果P的邻域中只要有一点属于E，那么即使余下的其他点都不属于E，都仍可以把P中所有的点（包括属于的和未属于的点）都叫做E的聚点？”
这句话有2个问题，
第1，由于P的邻域的半径的任意性，所以“余下的其他点都不属于E”不可能.
第2，说法“把P中...的点...叫做E的聚点”不对，只是说“点P是E的聚点”.
④举的例子不是很清楚. 是对“聚点”的定义理解没有到位.