Question

已知函数f(x)=x^3-3ax-1,a≠0

（1）求f(x)单调区间；
（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x) 的图像有三个不同的交点，求m的取值范围。
请写出详细过程

Answer 1

f(x)=x³-3ax-1,a≠0，f´(x)=3x²-3a,f"(x)=6x
(1)
因为a≠0，所以有两种情况：
a＜0时，f´(x)＞0，f(x)在整个定义域R内单调增加；
a＞0时，令f´(x)=0，即x²=a,f(x)有两个驻点x=±√a,
f"(√a)＞0，f"(-√a)＜0，
所以f(√a)为极小值，f(-√a)为极大值，
所以f(x)在(-∞，-√a)∪(√a，+∞)单调增加，在(-√a，√a)单调减少.
(2)
f(x)在x=-1处取得极值，所以-√a=-1，a=1，所以f(x)=x³-3x-1，
且f(1)为极小值，f(-1)为极大值，所以f(1)＜m＜f(-1)
即-3＜m＜1.