Question

以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边AC交于点D

以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边AC交于点D，E为BC上中点，连接DE
（1）求证：DE是圆O切线
（2）连接OE,AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形。并在此条件下求sin∠CAE的值

Answer 1

解(1)证明:连接OD,OE,因为E为BC的中点,O为AB的中点
所以OE平行与AC,所以∠EOB=∠BAC
又∠DOE=∠ADO=∠BAC
所以∠EOB=∠DOE
在三角形DOE和三角形EOB中,DO=BO,有相同的斜边
所以三角形DOE与三角形EOB全等
所以∠EDO=∠ABE=90度,O为圆心
所以OD垂直DE,即DE是圆O切线
(2)因为OE平行与AC,显然D为AC的中点时,四边形AOED是平行四边形
所以当D为AC的中点时,设AC=x,则AB=xcosa(a为∠CAB)
所以OD=xcosa/2=DE,又OE=AC/2=x/2
在三角形DOE中OD²+DE²=EO²
所以(cosa)²=1/2,因为∠CAB<90度
所以cosa=√2/2,所以a=45度
所以∠CAB=45度,所以sin∠CAB=√2/2
AE²=AB²+BE²=√(5x²/8)
所以sin∠CAE=CEsin45/AE=√10/10

Answer 2

1.连接BD,OD,则三角形BDC为直角三角形,由C为BC中点,所以CE=DE,角C=角CDE
角C+角CBD=90
角OBD+角CBD=90
所以:角CDE=角C=角OBD=角ODB,又由角CDB为90度
所以角ODE为90度,所以DE是圆O切线
2.当四边形AOED是平行四边形时,DE垂直于CB,由于E又是BC中点
所以D是AC中点,DO垂直于AB,AO=OD,角A=45度，角CAE=22.5度
sin22.5度由倍角公式易求

Answer 3

解(1)证明:连接OD,OE,因为E为BC的中点,O为AB的中点
所以OE平行与AC,所以∠EOB=∠BAC
又∠DOE=∠ADO=∠BAC
所以∠EOB=∠DOE
在三角形DOE和三角形EOB中,DO=BO,有相同的斜边
所以三角形DOE与三角形EOB全等
所以∠EDO=∠ABE=90度,O为圆心
所以OD垂直DE,即DE是圆O切线
(2)因为OE平行与AC,显然D为AC的中点时,四边形AOED是平行四边形
所以当D为AC的中点时,设AC=x,则AB=xcosa(a为∠CAB)
所以OD=xcosa/2=DE,又OE=AC/2=x/2
在三角形DOE中OD² DE²=EO²
所以(cosa)²=1/2,因为∠CAB<90度
所以cosa=√2/2,所以a=45度
所以∠CAB=45度,所以sin∠CAB=√2/2
AE²=AB² BE²=√(5x²/8)
所以sin∠CAE=CEsin45/AE=√10/10

Answer 4

汗照相功能不行

Answer 5

连结DO,DB