Question

函数f(x)=x^2+a/x+1

若函数f(x)=(x^2+a)/(x+1) (a属于R)在x=1处取极值,求函数f(x)的单调区间

Answer 1

若函数f(x)=(x²+a)/(x+1) (a属于R)在x=1处取极值,求函数f(x)的单调区间.

f(x)=x-1+(a+2)/(x+1),f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
f´(x)=1-(a+2)/(x+1)²,在定义域内各个连续区间f(x)可导，所以光滑，
已知f(x)在x=1处取极值,所以f´(1)=1-(a+2)/(1+1)²=0,得a=2，
所以f(x)=x-1+4/(x+1),f´(x)=1-4/(x+1)²,
令f´(x)=1-4/(x+1)²=0得另一驻点x=-3，
f"(x)=8/(x+1)³,所以 f"(1)=8/(1+1)³=1＞0，f"(-3)=8/(-3+1)³=-1＜0，
所以f(1)为极小值，f(-3)为极大值，
所以f(x)在(-∞,-3)∪(1,+∞)单调增加,在(-3,-1)∪(-1,1)单调减少.

Answer 2

就是用了一下求导公式 若f(x)=a/b则f'(x)=(a'b-b'a)/b^2
f(x)=(x^2+a)/(x+1)则f'(x)=[(x^2+a)'(x+1)-(x^2+a)(x+1)']/(x+1)^2
即f'(x)=(x^2+2x-a)/(x+1)^2
又∵在x=1时取极值
∴f'（1）=0 解得a=3
原式=（x^2+3)/(x+1) f'(x)=(x^2+2x-3)/(x+1)^2
令f'(x)=0 则有x1=-3,x2=1
x<-3或x>1时 f'(x)>0
-3<x<1时 f'(x)>0
∴f(x)单调递增区间为x<-3或 x>1 单调递减区间为-3<x<1