Question

急，在线等，两道高数题

1.求过由曲线y=sinX,y=cosX及直线x=0,x=π/2所围成的图形的面积
2.求函数y=27x-x3(x的三次方)的单调区间,极值,凹凸区间与拐点

Answer 1

1. 在区间[0,π/2]上，函数 sinx 与 cosx 交于 (π/4,根号2/2)，而在[0,π/4)上 cosx>sinx;在[π/4,π/2]上，sinx>cosx，所以所求面积为
S
=∫(0->π/2) |sinx-cosx| dx
=∫(0->π/4) (cosx-sinx) dx + ∫(π/4->π/2) (sinx-cosx) dx
由于 ∫(cosx-sinx) dx = sinx+cosx+C， 所以
∫(0->π/4) (cosx-sinx) dx = (sin π/4 + cos π/4)-(sin0 + cos0)=根号2-1;
同理，∫(sinx-cosx) dx = -sinx-cosx，所以
∫(π/4->π/2) (sinx-cosx) dx = (-sin π/2-cos π/2)-(-sin π/4-cos π/4)=根号2-1;
因此原式=∫(0->π/2) |sinx-cosx| = 2*(根号2-1) = 2根号2-2.

2. y'=27-3x^2.
令y'<0，得到 27-3x^2<0，于是 x>3 或者 x<-3. 即区间(负无穷,-3)以及(3,正无穷)是函数的单调减区间；类似地，令y'>0，则 -3<x<3，因此区间(-3,3)是函数的单调增区间。
令y'=0，得到 x=3 或者 x=-3. 因为函数在(-3,3)上单增，(3,正无穷)上单减，所以 x=3 是函数的极大值点，由此可知函数极大值为 y=27*3-3^3=54；类似地，函数在(负无穷,-3)上单减，在(-3,3)上单增，所以 x=-3 是极小值点，且极小值为 y=27*(-3)-(-3)^3=-54。
又因为 y''=-6x. 所以当 x>0 时 y''<0；当 x<0 时 y''>0，因此函数的拐点即为 x=0，且 (0,正无穷)是函数的上凸区间，(负无穷,0)是函数的下凸区间。

Answer 2

1、∫|sinx-cosx|dx(x从0到π/2）
=∫（sinx-cosx）dx(x从π/4到π/2）-∫sinx-cosxdx(x从0到π/4）
=2∫（sinx-cosx）dx(x从π/4到π/2）
=-2（sinx+cosx）|(x从π/4到π/2）=2（根号2-1）
2、求函数y=27x-x3(x的三次方)的单调区间,极值,凹凸区间与拐点
y‘=27-3x^2, y"=-6x,
当x＞0时，函数是凸的当x＜0时，函数是凹的。
令y'=0得x1=-3,x2=3
f(3)=54极大值f(-3)=-54极小值
在（-∞，-3]单调增加，[-3,3]单调减少，[3,+∞)单调增加

Answer 3

lz学过高数吗？这可是最最基本的题目了，还是自己看懂了再作好些
投机取巧最终不会提高的