Question

已知f(x)=4x/(3x2+3)(x属于(0,2)),g(x)=(1/2)x2-Inx-a

（1）求f（x）的值域；（2）若存在x属于［1,2］使得g（x）＝0，求a的取值范围；（3）对所有x1属于（0,2），总存在x2属于［1,2］使得f（x1）＝g（x2），求a的取值范围。

Answer 1

（1）
f(x)=4x/(3x2+3)
f'(x)=(12x^2+12-4x*6x)/(3x^2+3)^2
=-12(x+1)(x-1)/(3x^2+3)^2
0<x<1时，f'(x)>0,f(x)递增
1<x<2时，f'(x)<0,f(x)递减
∴f(x)max=f(1)=2/3
又f(0)=0,f(2)=8/15
∴f(x)的值域为(0,2/3]
(2)
若存在x属于［1,2］使得g（x）＝0，

即a=(1/2)x^2-lnx
设h(x)=(1/2)x^2-lnx
h'(x)=x-1/x=(x^2-1)/x≥0恒成立
∴h(x)为增函数
h(1）=1/2,h(2)=2-ln2
∴a∈[1/2,2-ln2]
(3)
对所有x1属于（0,2），总存在x2属于［1,2］
使得f（x1）＝g（x2）

那么f(x)的值域是g(x)的值域为子集
g'(x)=h'(x)
∴g(x)min=g(1)=1/2-a
g(x)max=2-ln2-a
又f(x)的值域值域为(0,2/3]
∴1/2-a≤0且2-ln2-a≥2/3
∴a≥1/2且a≤4/3-ln2
即1/2≤a≤4/3-ln2