Question

高数:微分方程求解！谢谢

Answer 1

y'+1/cos²x y=tanx/cos²x
y=e^[-∫1/cos²xdx] (∫tanx/cos²x·e^[∫1/cos²xdx]dx+c)
=e^[-∫sec²xdx] (∫tanx/cos²x·e^[∫sec²xdx]dx+c)
=e^(-tanx)(∫tanxsec²x·e^[tanx]dx+c)
下面解：
∫tanxsec²x·e^[tanx]dx
=∫tanxe^[tanx]dtanx
令tanx=u
原式=∫ue^udu
=∫ude^u
=ue^u-∫e^udu+c
=ue^u-e^u+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
所以
y=e^(-tanx)[tanxe^tanx-e^tanx+c]
=tanx-1+ce^(-tanx)
x=π/4,y=0代入，得
0=1-1+ce^(-1)
c=0
所以
y=tanx-1
x=0时，y=0-1=-1