Question

一道二重积分的问题

这个题，我不知道为什么选的B，我自己算了下，和哪个答案都没对上，我是这么想的：把D的面积整理一下，D4移到D1下面，D就被改造成一个矩形，x取[-1, 1] 、y取[0, 1]积分，不过这貌似就跑偏了，没有这类选项，不过想了半天也没想到xy究竟怎么消掉的
额，好吧，不问思路也不通，问一遍思路通了，不过还是看看各位的答案，看看我想的对不对吧

Answer 1

只要知道关于对称性的结论即可，设D=D1+D2，如果D1和D2关于x轴对称，被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，那么在D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy=0，如果f(x,y)是关于y的偶函数，那么在D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy=2倍的在D1（或D2）上的二重积分。D关于y轴对称时也有类似结论。现在看本题，先看D上∫∫xydxdy，由于xy是关于x的奇函数，D1和D2关于y轴对称，故D1+D2上的积分等于0，同理xy是关于y的奇函数，D3和D4关于x轴对称，所以D3+D4上的积分也等于0，也就是D上的∫∫xydxdy=0，再看∫∫cosxsinydxdy，cosxsiny是关于y的奇函数，故在D3+D4上积分为0，而cosxsiny又是关于x的偶函数，所以积分=2倍的在D1上的积分。