Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn-an+1),(a为常数,且a>0),且4a3是a

1与2a2的等差中项,(1)求数列{an}的通项公式(2)设bn=2n+1/an.求数列的前n项和Tn

Answer 1

(1)解：
由题意得：Sn=a(Sn-an+1)（a＞0）
则易得：Sn=[a/(a-1)]*(an-1)
根据：an=Sn-S(n-1)（n>1）
所以：an=[a/(a-1)]*(an-1)-[a/(a-1)]*[a(n-1)-1]=[a/(a-1)]*[an-a(n-1)]
得：an/a(n-1)=a

因此：数列{an}是以a为公比的等比数列
an=a1*a^(n-1)
又因为：S1=a(S1-a1+1)且S1=a1
即：a1=a
所以：an=a^n
4a3是a1与2a的等差中项，则有8a3=a1+2a
即有8a^3=a+2a=3a

a^2=3/8
a=根号6／4
故an=(根号6／4）^n
bn=2n+1/an=2n+(4/根号6）＾n
Tn=2(1+n)n/2+4/根号6＊（（4／根号6）＾n-1)/(4/根号6－1）
　＝n(n+1)+4((4/根号6）^n-1)/(4-根号6）