Question

已知函数f（x）=x∧2lnx的绝对值。。。。判断函数f（x）奇偶性。求函数的单调区间

Answer 1

解1由f（x）=x^2/x/
知函数的定义域为（负无穷大，0）∪（0，正无穷大）
故f（-x）=（-x）^2/-x/=x^2/x/=f（x）
即f（-x）=f（x）
故f（x）是偶函数
2当x＞0时
f（x）=x^2lnx
则f'(x)=（x^2lnx）'=2xlnx+x^2(lnx）'
=2xlnx+x^2×1/x
=2xlnx+x
=x（2lnx+1）
令f'(x)=0
即2lnx+1=0
即lnx=-1/2
即x=e^(-1/2)=1/√e
故当x属于（0.1/√e）时，f'(x)＜0
当x属于（1/√e，正无穷大）时，f'(x)＞0
故x＞0时函数的增区间为（1/√e，正无穷大）
减区间为（0.1/√e）
又由f（x）是偶函数
故
x＜0时函数的减区间为（负无穷大，-1/√e）
增区间为（-1/√e，0）
3由2知当x=1/√e，时，y有最小值y=1/e×（-1/2）
故函数的最低点为（1/√e，1/e×（-1/2））
由y=kx-1的图像过点（0，-1）
故k的最小值为[1/e×（-1/2）+1]/(1/√e)
故当k＞0时，k≥[1/e×（-1/2）+1]/(1/√e)
又由f（x）是偶函数
故k的范围是[[1/e×（-1/2）+1]/(1/√e),正无穷大）∪(负无穷大，-[1/e×（-1/2）+1]/(1/√e)].

Answer 2

（2）f'(x)=2xlnx +x=x(2lnx+1)
因为x>0，令f'(x)>0，得2lnx+1>0
lnx>-1/2，x>e^(-1/2)
所以 f(x)的增区间为[e^(-1/2)，+无穷），减区间为(0，e^(-1/2)]。
（3）令g(x)=f(x)-kx+1，由条件知，g(x)有零点。
求导，g'(x)=f'(x) -x=2xlnx，令g'(x)=0，解得x=1
容易得出，g(x)在(0，1]上是减函数，在[1，+无穷）上是增函数。
所以 g(1)=f(1)-k +1=1-k 为g(x)的最小值。
于是，要使g(x)有零点，只需 g(1)<0
从而 解得 k>1。

追问

那个ln函数的x加了绝对值的，要不要讨论啊

追答

哦，没看清。当然要讨论。
x>0时，就是上面做的。
x<0时，f'(x)=2xln(-x)+x，可以仿照前面的方法。

追问

第三问有些地方不会弄

求导后有k有绝对值不知道怎么处理

就是第三问求导然后等于0时怎么解x的值