Question

已知函数f(x)=x2+ |x-1|+ 1,x∈R。（1）试讨论f(x)的奇偶性（2）确定f(x)的单调区间，求其最小值

Answer 1

(1)
f(x)= x^2+|x-1|+1
f(-x)=(-x)^2+|-x-1|+1=x^2+|x+1|+1
f(-x)-f(x)=|x+1|-|x-1|>0
f(-x)+f(x)=2x^2+|x+1|+|x-1|+2>0
即f(x)不等于f(-x)也不等于 f(x)，所以 f(x) 非奇非偶

(2)当x>=1时， f(x)=x^2+x-1+1=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4 在 x>-1/2是增函数，所以 在x>1时是增函数，有最小值 f(1)=2
当 x<1时， f(x)=x^2-x+1+1=(x-1/2)^2+7/4 在 x>1/2时 是增函数，在 x<1/2是减函数，有最小值f(1/2)=7/4 <f(1)
综上所述，
f(x)的单调减区间是 (-∞,1/2],单调增区间是[1/2,+∞)，最小值是 f(1/2)=7/4