Question

已知函数f(x)=x^2ln|x| (1)判断函数的奇偶性（2）求函数的单调区间（3）若关于x的方程

f(X)=kx-1有实数解求实数k的取值范围。

Answer 1

1）f(-x)=f(x), 为偶函数
2）x>0, f'=2xlnx+x=x(2lnx+1)=0---> x=e^(-1/2)
0<x<e^(-1/2), 单调减
x>e^(-1/2),单调增
由对称性，-e^(-1/2)<x<0，单调增
x<-e^(-1/2), 单调减
3）x^2ln|x|=kx-1
g(x)=k=(x^2ln|x|+1)/x=xln|x|+1/x, 此为奇函数
先考虑x>0,g'(x)=lnx+1-1/x^2, g"(x)=1/x+2/x^3>0
因此g'(x)单调增, g'(x)=0有唯一解，显然g'(1)=0,
g(1)=1为极小值， 因此x>0, k>=1
由对称性， 得k>=1 or k<=-1.