Question

线性代数正定矩阵，第2小题求解答，谢谢

Answer 1

是充要条件。证明如下：
充分性：由AB是正定矩阵推出AB为对称矩阵，故(AB)'=AB, （A'表示A的转置）
又A,B也都是对称矩阵，因此 (AB)'=B'A'=BA
所以 AB=BA。
必要性：由于A，B正定所以有可逆矩阵P、Q使得A=P‘P,B=Q’Q,
x‘Ax=x’P‘Px=(Px)’Px=(Px)^2>0,x‘Bx=(Qx)’Qx=(Qx)^2>0,
x‘ABx=x’P‘PQ’Qx，
AB=BA时,(AB)'=(P‘PQ’Q)‘=Q’QP‘P=BA=AB，说明AB是对称矩阵，Q(AB)Q^-1=QP'PQ'QQ^-1=QP'PQ'=(PQ')'PQ',
由于PQ'为可逆矩阵,因而(PQ')'PQ'是正定矩阵。
令其为矩阵C，Q^-1CQ=AB，即AB相似于一正定矩阵，由此可以得出AB的所有特征值全部大于0，AB又是对称矩阵，故AB是一正定矩阵。