Question

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切。 （1）求动圆的圆心轨迹C的方程； （2）是否存在

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切。
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足OP.OQ=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请明理由。
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Answer 1

1、依题意知，圆心C到定点F(1，0)的距离=圆心C到直线x= -1的距离，所以
圆心C的轨迹是一条抛物线，定点F(1，0)是该抛物线的焦点，直线x= -1是该抛物线的准线。
很容易写出该抛物线的方程，也即圆心C的轨迹方程：
y²=4x
2、假设存在直线L满足题中的条件，设其斜率为k，因为L过定点A(0，1)，所以由点斜式可写出其直线方程为：
L：y=kx+1
L的方程与C的轨迹方程联立消x得
ky²-4y+4=0
很明显，若k=0，则交点只会有一个，不符题意，所以k≠0，所以上面关于y的方程是一个二次方程。
设交点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则对上面的二次方程运用判别式及韦达定理得
△=4²-4k*4>0，解得k<1且k≠0
y1+y2=4/k
y1*y2=4/k
又知：向量OP=(x1，y1)、向量OQ=(x2，y2)，所以
向量OP*向量OQ=(x2，y2) *(x1，y1)=x1x2+y1y2
因为P(x1，y1)、Q(x2，y2)在抛物线y²=4x上，所以x1=y1²/4、x2=y2²/4，代入上面的式子得继续=
= (y1²/4)(y2²/4)+y1y2
= (y1y2)²/16+y1y2
= 1/k²+4/k
依题意向量OP点乘OQ=零，所以1/k²+4/k=0，解这个方程得k= -1/4，代回上面所设的直线L的
斜式方程得
y=(-1/4)x+1
所以存在满足题中条件的直线L：y=(-1/4)x+1