Question

已知动圆过定点（0,2），且与定直线L：y=-2相切。（1）求动圆圆心的轨迹C的方程（2）若AB为轨迹C的动弦，

AB过F（0，2），分别以A，B为切点做轨迹C的切线，设两切线交点Q，证明AQ垂直BQ。要求：不能用导数求，只能用代数解

Answer 1

解：
(1)设圆心C(x,y)；由圆C过定点(0,2)，且与定直线L：y=-2相切；
知C(x,y)到定点(0,2)的距离等于C(x,y)到直线L：y=-2的距离。
则由抛物线的定义可知：圆心C：x²=8y ；
(2)设A(x1,x1²/8)，B(x2,x2²/8) (x1>0>x2)；
又AB过F(0,2),则K=(x1²/8-x2²/8)/(x1-x2)=(x1²/8-2)/x1≠0 ；
整理有：x2=-16/x1 ；则B(-16/x1,32/x1²) ；
令过A(x1,x1²/8)轨迹C的切线为：y=k1(x-x1)+x1²/8 ；
过B(-16/x1,32/x1²)轨迹C的切线为：y=k2(x+16/x1)+32/x1² ；(k1≠k2)
则方程组x²=8y;y=k1(x-x1)+x1²/8只有一个解；即x²-8k1x+8k1x1-x1²=0只有一个解；
方程组x²=8y;y=k2(x+16/x1)+32/x1² 只有一个解；即x²-8k2x-128k2/x1-256/x1²=0只有一个解；
则64k1²-4(8k1x1-x1²)=0；64k2²-4(-128k2/x1-256/x1²)=0；
解之：k1=x1/4;k2=-4/x1 ；
则k1k2=x1/4*(-4/x1)=-1；故以A，B为切点轨迹C的两切线垂直；
又两切线交点Q，则AQ⊥BQ
希望能帮到你！

Answer 2

希望对你有帮助！ 图片另存为克看得清晰。