Question

证明：(cosa/1+sina)-(sina/1+cosa)=2(cosa-sina）/1+sina+cosa

Answer 1

证明∵（1+sina+cosa）^2=1+sin^2a+cos^2a+2sina+2cosa+2sinacosa
故（1+sina+cosa）^2=2+2sina+2cosa+2sinacosa
即（1+sina+cosa）^2=2（1+sina+cosa+sinacosa）
即（1+sina+cosa）^2=2（1+sina）（1+cosa）
故（1+sina+cosa）^2/（1+sina）（1+cosa）=2
即（1+sina+cosa）/（1+sina）（1+cosa）=2/（1+sina+cosa）
两边乘以（cosa-sina）
得
（1+sina+cosa)(cosa-sina)/(1+sina)(1+cosa）=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
故[(cosa-sina)+(sina+cosa)(cosa-sina)]/(1+sina)(1+cosa）
=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
即（cosa-sina+cos^2a-sin^a）/(1+sina)(1+cosa）=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
即（cosa+cos^2a-sina-sin^a）/(1+sina)(1+cosa）=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
即[cosa(1+cosa)-sina(1+sina)]/(1+sina)(1+cosa）=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
故cosa(1+cosa)/(1+sina)(1+cosa）-sina(1+sina)/(1+sina)(1+cosa）
=2(cosa-sina)/(1+sina+cosa）
即
(cosa/1+sina)-(sina/1+cosa)=2(cosa-sina）/1+sina+cosa

追问

这样太麻烦了，有没有简单一些的

追答

你用原始的sina=y/r，cosa=x/r代入试试，估计会简单。

追问

。。。

追答

唉看起来你不信我呀
证明由sina=y/r，cosa=x/r

知欲证(cosa/1+sina)-(sina/1+cosa)=2(cosa-sina）/1+sina+cosa成立

需证(x/r/1+y/r)-(y/r/1+x/r)=2(x/r-y/r）/（1+y/r+x/r）

即(x/r+y)-(y/r+x)=2(x-y）/（r+y+x）
即需证x（r+x）/（r+y)(r+x)-y(r+y)/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
需证[x（r+x）-y(r+y)]/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
即[rx+x^2-yr-y^2)]/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
即[r（x-r）+x^2-y^2)]/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
即[r（x-y）+（x-y)（x-y）]/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
即（x-y）（r+（x+y)/(r+x)(r+y)=2(x-y）/（r+y+x）
即需证（r+x+y)/(r+x)(r+y)=2/（r+y+x）
即需证（r+x+y)^2=2(r+x)(r+y)
即r^2+x^2+y^2+2rx+2ry+2xy=2(r^2+xr+yr+xy)
即需证r^2+r^2+2rx+2ry+2xy=2(r^2+xr+yr+xy)
即需证2r^2+2rx+2ry+2xy=2(r^2+xr+yr+xy)成立
该式显然成立
故原式成立