Question

请教求曲面法向量的问题，快一年了也没弄明白

一、显示曲面z=f(x,y),如何求其法向量，我在高数书上看到有两种结果：1、(Zx,Zy,-1) 2、(-Zx,-Zy,1)，为什么不一样呀？ 二、二重积分的应用之曲面的面积，书上举的例子，cosr为 "1/开方(1+fx^2+fy^2)",它是如何推导出来的呀，是不是根据两向量的夹角公式？ 如果当曲面的法向量指向右下方，哪么这时，曲面的法向量是不是应为(Zx,Zy,-1)，那两量夹角是否应为负，那么cosr<0,那书上的公式不就没有代表性了吗？

Answer 1

1.设曲面上的任一点（x（t），y（t），z（t）），则随着t的不同，上述点构成曲面上的一条曲线 这个曲线任一点的斜率为（x‘（t），y’（t），z‘（t））， 则曲面的方程F（x，y，z）=0两边关于t 求导得到 （F1’，F2’，F3’）（x‘（t），y’（t），z‘（t）））=0 上面式子的意义便是向量（F1’，F2’，F3’）与过这点的任意曲线垂直，便是法向量的方向 至于上面相差一个负号，是因为一个未定向的曲面的法向量本来就是两个方向都可以的 当然如果曲面是定向的，根据题意在确定 第二个问题这里不太好叙述，课本上应该都有的，建议你看一下课本

Answer 2

谢谢大家，第二个问题的我把两平面的夹角公式记错了，少了绝对值

Answer 3

呵呵，[qq:13] 第一题比较可爱，法向量是个向量，有方向的，你没发现两个答案都是平行向量吗？他们都是该平面的法向量，不仅如此，你对两个向量都乘以个不为0得实数k,得出的向量还是平行的，还是它的法向量。

Answer 4

情谊无价 thanks a lot