Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，

解：y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点，
但当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x=16无根
即当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x有3个零点
由f（x）+f（x+5）=16，
即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x2-2x无零点
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，
在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]
在x∈[0，4]函数有两个零点，
在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，
在x∈（2004，2013]共有两个零点，
综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604
故答案为：604

我在 但当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x=16无根 由f（x）+f（x+5）=16，
即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x2-2x无零点 没有看懂。请问x在（-6，-1]到底是怎么判断的呢？只知道周期是10但是只知道（-1,4）的解析式啊，怎么求另外的呢？
不好意思 题目是 2013•长春一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是
604
．
刚刚没给全

Answer 1

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数。

解析：∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,
令x=x+5代入上式得f(x+5)+f(x+10)=16
∴f(x)=f(x+10)，即是以10为最小正周期的周期函数
∵当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x==>f(-1)=1/2, f(0)=-1, f(1)=-1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=0
∴当x∈(-1,4]时,f(x)有三个零点
∵f’(x)=2x-2^xln2，∴当x∈(1,9)时，f’(x)<0，单调减，即无零点
综上：函数f(x)在一个周期内有三个零点，
2013/10=201+3
就是说在区间[.,2013]上有200个完整周期，则3*200=600
在第一个周期内，少一个零点，即有二个零点
当x∈(2009,2013]时，也有二个零点
∴函数f(x)在【0,2013】上共有604个零点

Answer 2

“即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x2-2x无零点 没有看懂。”因为-6到-1之间没有哪个值能使得f(x)=0

追问

为什么要去看负六到一呢