Question

高中数学第十九题求解。

Answer 1

解法一:
a、b、c为正实数,且a+b+c=1
故由柯西不等式得
[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=(1+1+1)^2
--->[3(a+b+c)+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
--->[3×1+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
上式两边除以9得
[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=1
故取等号时,得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为1。

解法二:构造函数f(x)=1/(3x+2),则
f'(x)=-3(3x+2)^(-2)
f"(x)=18(3x+2)^(-3)
可见,当x>0,即x为正实数时,
f"(x)>0恒成立
故f(x)在(0,+无穷)内下凸
所以,a、b、c>0时,由琴生不等式得
f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3]
--->1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=3×1/[3(a+b+c)/3+2]=3×1/[3×1/3+2]=1
故1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=1
取等号得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)最小值为1。

追问

解法二看不懂呢。没学求导

追答

没学求导啊？？ 那看解法一吧，个人觉得求导简单

追问

噢。

谢谢你了。

为什么求导会有两个''
呢？

追答

不客气，都是高中生，互帮互助

追问

我平时好像看到答案都是只有一个'

''

追答

你是哪个地区的？是不是学的重点不一样？有些题还得进行三步求导呢

追问

呃。我没学。。

肯定是见的少吧。。。

还有一个问题。这里柯西不等式你是怎么用的呀？

不是只能求两项吗？

追答

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。 如：两列数 0，1 和 2，3 有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9. 形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式。 我不知道怎么解释透彻，抓住基本定义，我们注重学求导了 不好意思啊

追问

噢。。平方和的积大于积的和的平方。

不过我还是不知道这一步是怎么来的呀

所以和即中间这个式子是怎么来的呢？

追答

通分会不会？

追问

明白了。

追答

真是个爱学习的好孩子