Question

求函数y=2(x^2+x)/（x-1）(2≤x<4)的值域

Answer 1

令t=x-1;
则1≤t<3
y=2[x(x+1)]/t=2[(t+1)(t+2)]/t
=2[t^2+3t+2]/t
=2t+6+(4/t)
=2t+(4/t)+6
不知道有没有学过导数？，学过导数用导数证明函数在该区间上是先减后增；
以下用高一的方法讨论函数的单调性；
对任意的1≤t1<t2<3
y1-y2=2(t1-t2)+[(4/t1)-(4/t2)]
=2(t1-t2)+4(t2-t1)/t1t2
=2(t1-t2)[1-(2/t1t2)]
=2(t1-t2)[(t1t2-2)/t1t2)]
(1)当1≤t<√2时，
(t1-t2)<0; t1t2>0; (t1t2-2)<0,此时，
y1-y2>0
y1>y2,函数在这一段上是单调减；
(2)当 √2≤t<3时，
(t1-t2)<0; t1t2>0; (t1t2-2)>0,此时，
y1-y2<0
y1<y2,函数在这一段上是单调增；
所以函数y(t)在[1,3)上的单调性是先减后增；
最小值是：
y(√2)=6+4√2
最大值是两个端点值中的一个；
y(1)=12
y(3)=13+(1/3)这是上界，也就是空点；
所以原函数的值域为：
[6+4√2, 13+(1/3) )