Question

设函数f（x）= a 2x -(t-1) a x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；

设函数f（x）= a 2x -(t-1) a x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x 2 ）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的反函数过点 ( 3 2 ，1) ，是否存在正数m，且m≠1使函数 g(x)=lo g m [ a 2x + a -2x -mf(x)] 在[1，log 2 3]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）= a 2x -(t-1) a x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）=0，即 a 0 -(t-1) a 0 =0 ， ∴t=2； （2）由（1）可知，t=2， ∴f（x）= a 2x -1 a x ， ∵f（1）＞0， ∴ a 2 -1 a ＞0 ，即 (a+1)(a-1) a ＞0 ， 又∵a＞0， ∴a＞1， ∵f（x）为奇函数， ∴-f（x-1）=f（1-x）， ∴不等式f（kx-x 2 ）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立，即f（kx-x 2 ）＜f（1-x）对一切x∈R恒成立， ∵a＞1，则y=a x 在R上为单调递增函数， ∴f（x）= a 2x -1 a x = a x - 1 a x 在R上为单调递增函数， ∴kx-x 2 ＜1-x对一切x∈R恒成立，即x 2 -（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立， ∴△=（k+1） 2 -4＜0，即k 2 +2k-3＜0， ∴-3＜k＜1， ∴实数k的取值范围为-3＜k＜1； （3）假设存在正数m，且m≠1符合题意， ∵函数f（x）的反函数过点（ 3 2 ，1）， ∴ 3 2 = a 2 -1 a ， ∴a=- 1 2 或a=2， ∵a＞0， ∴a=2， ∵ g(x)=lo g m [ a 2x + a -2x -mf(x)] ， ∴g（x）=log m [( 2 x - 2 -x ) 2 -m( 2 x - 2 -x )+2] ， 令t=2 x -2 -x ， ∴（2 x -2 -x ）-m（2 x -2 -x ）+2=t 2 -mt+2， ∵x ∈[1，lo g 2 3 ] ， ∴t∈[ 3 2 ， 8 3 ]， 记h（t）=t 2 -mt+2， ∵函数g（x）=log m [ a 2x + a -2x -mf(x)] 在[1，log 2 3 ]上的最大值为0， ①当0＜m＜1时，y=log m h（t）是单调递减函数， ∴函数h（t）=t 2 -mt+2在[ 3 2 ， 8 3 ]有最小值1， ∵对称轴t= m 2 ＜ 1 2 ， ∴函数h（t）在[ 3 2 ， 8 3 ]上单调递增， ∴h（t） min =h（ 3 2 ）= 17 4 - 3 2 m=1， ∴m= 13 6 ， ∵0＜m＜1， ∴m= 13 6 不符合题意； ②当m＞1时，则函数h（t）＞0在[ 3 2 ， 8 3 ]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ∵函数h（t）=t 2 -mt+2在[ 3 2 ， 8 3 ]有最大值1，h（t）的对称轴为x= m 2 ， （i）当 m 2 ＜ 25 12 ，即m＜ 25 6 时， 当t= 8 3 时，h（t）取得最大值h（ 8 3 ）= 82 9 - 8m 3 =1， ∴m= 73 24 ， 又∵ m 2 = 73 48 ∈[ 3 2 ， 8 3 ]， ∴当t= 73 48 时，h（t）取得最小值h（ 73 48 ）＜0， ∴g（x）在[1，log 2 3 ]无意义， ∴m= 73 24 不符合题意； （ii）当 m 2 ≥ 25 12 ，即m≥ 25 6 时， 当t= 3 2 时，h（t）取得最大值h（ 3 2 ）= 17 4 - 3m 2 =1 ， ∴m= 13 6 ， ∵m≥ 25 6 ， ∴m= 13 6 不符合题意． 综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在[1，log 2 3 ]上的最大值为0．