已知函数f（x）=lnx，g（x）=kx?1x+1，（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数
已知函数f（x）=lnx，g（x）=kx?1x+1，（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围...
已知函数f（x）=lnx，g（x）=kx?1x+1，（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：ln（1+112）+ln（1+122）+…+ln（1+1n2）＞nn+1．
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（1）F（x）=lnx-k
，∴F′（x）=
?
＝
；
①若（2-2k）2-4≤0，即0≤k≤2，x∈（0，+∞）时，x2+（2-2k）x+1≥0，∴F′（x）≥0；
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．
②若（2-2k）2-4＞0，即k＜0，或k＞2，方程x2+（2-2k-）x+1=0的解是x＝k?1±
；
当k?1+
＜0，即k＜1，且k＜0，∴k＜0时，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．
当k?1?
＜0，且k?1+
＞0，则不存在符合该条件的k，所以这种情况不存在．
当k?1?
＞0，即k＞1，且k＞2，∴k＞2时，x∈（0，k?1?
| x?1 |
| x+1 |
| 1 |
| x |
| 2k |
| (x+1)2 |
| x2+(2?2k)x+1 |
| x(x+1)2 |
①若（2-2k）2-4≤0，即0≤k≤2，x∈（0，+∞）时，x2+（2-2k）x+1≥0，∴F′（x）≥0；
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．
②若（2-2k）2-4＞0，即k＜0，或k＞2，方程x2+（2-2k-）x+1=0的解是x＝k?1±
| k2?2k |
当k?1+
| k2?2k |
当k?1?
| k2?2k |
| k2?2k |
当k?1?
| k2?2k |
k2?2k
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