已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax.①求函数g(x)的单调区间; ②若函数f(

已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax.①求函数g(x)的单调区间;②若函数f(x)在(1+∞)上是减函数,求实数a的最小值... 已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax.①求函数g(x)的单调区间;
②若函数f(x)在(1+∞)上是减函数,求实数a的最小值
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琅琊梅长苏
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(1)g(x)=x/lnx,x∈(0,1)∪(1,+∞)
g'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x=(lnx -1)/ln²x<0,得x∈(0,1)∪(1,e)
∴g(x)在(0,1)和(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增。
(2)f(x)=g(x)-ax=x/lnx-ax,x∈(0,1)∪(1,+∞)
f'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x - a =(-aln²x+lnx -1)/ln²x .
f(x)在(1,+无穷)上是减函数,则f'(x)=(-aln²x+lnx -1)/ln²x ≤0在(1,+∞)上恒成立。
∵在(1,+∞)上,lnx>0,
设t=lnx,
∴关于t的函数F(t)=at²-t+1≥0对t∈(0,+∞)恒成立,
∵a>0,F(0)=1>0
∴对称轴x=1/(2a)>0
∴△=1-4a≤0,得a≥1/4.
综上,a≥1/4,即a的最小值为1/4
追问
第一问的e怎么来的?
追答
lne=1
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