Question

已知函数g（x）=x/lnx，f（x）=g（x）-ax

①求函数g（x）的单调区间；②若函数f（x）在（1，正无穷）上是减函数，求实数a的最小值

谢谢啦
坐等答案

Answer 1

(1)
g(x)=x/lnx
g'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2
当0<x<e时，lnx<1,g'(x)<0,
当x>e时，lnx>1,g'(x)>0
g(x)递增区间为(e,+∞)
递减区间为(0,e)

(2)
f(x)=x/lnx*ax=ax^2/lnx
f'(x)=a(2xlnx-x)/(lnx)^2
f(x)在（1，+∞）上为增函数，
即当x>1时，f'(x)≥0恒成立，
即ax(2lnx -1)>0恒成立，

有问题的

追问

没有啊，我没打错

追答

f(x)在（1，+∞）上为减函数，
即当x>1时，f'(x)≤0恒成立，
即ax(2lnx -1)≤0恒成立，
a(2lnx-1)≤0恒成立，
看到了，是—

f(x)=x/lnx-ax
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2-a
那么
f;(x)≤0
a≥(lnx-1)/(lnx)^2=1/(lnx)-1/(lnx)^2恒成立，
设lnx=t>0
h(t)=t-t^2 =1/3-(t-1/2)^2
h(t)max=1/4
∴a≥1/4