Question

已知函数f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的值域为_______

已知函数f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的值域为_______．

Answer 1

∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为

1≤x≤9 1≤x2≤9.

解得1≤x≤3，即定义域为[1，3]．
∴0≤log₃x≤1．
又y=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+2+log₃x²
=（log₃x）²+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3，
∵0≤log₃x≤1，
∴6≤y≤13．
故函数的值域为[6，13]．
故答案为：[6，13]

Answer 2

∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为

 

1≤x≤91≤x2≤9.

 

解得1≤x≤3，即定义域为[1，3]．
∴0≤log₃x≤1．
又y=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+2+log₃x²
=（log₃x）²+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3，
∵0≤log₃x≤1，
∴6≤y≤13．
故函数的值域为[6，13]．
故答案为：[6，13]