Question

（2012?石景山区一模）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，

（2012?石景山区一模）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是（　　）A．932B．365C．12D．24

Answer 1

由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12?4t?t 2

，即此四棱锥的高等于

12?4t?t 2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12?4t?t 2

=3

16?(t +2)2

≤12．
即三角形面积的最大值为12，
故选C．