Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（I）若数列{bn}满足：bn＝1an+lnan，求数列{

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（I）若数列{bn}满足：bn＝1an+lnan，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）设cn=log3a1+log3a2+…+log3an，Tn＝1c1 +1c2+…+1cn求使kn?2n+1(n+1)≥(7?2n)Tn（n∈N*）恒成立的实数k的范围．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a32=9a₂a₆得a32=9a42
所以q²=

1

9

．
由条件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

∴b_n=3ⁿ+ln(

1

3

)n=3ⁿ-nln3．
所以S_n=

3n+1?3

2

-

n(n+1)

2

ln3．
（Ⅱ）∵C_n=log₃ a1+log₃a₂+…+log₃a_n，
=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

故

1

Cn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
T_n=

1

C1

+

1

c2

+…+

1

cn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

所以数列{

1

cn

}的前n项和为-

2n

n+1

．
k

n?2n+1

(n+1)

≥(7?2n)Tn（n∈N^*）化简得k≥

2n?7

2n

恒成立
设d_n=

2n?7

2n

，则d_n+1-d_n=

2(n+1)?7

2n+1

?

2n?7

2n

=

9?2n

2n+1

．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，所以，n=5时，d_n取得最大值为

3

32

所以，使k

n?2n+1

(n+1)

≥(7?2n)Tn（n∈N^*）恒成立的实数k≥

3

32

．