Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1．（Ⅰ）证明{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1(l

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1．（Ⅰ）证明{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1(log2an+1)?(log2an+2)；求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1知S_n+1=2a_n+1-1，
∴S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
又a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴log₂a_n+1=n，log₂a_n+2=n+1，
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．