Question

（2009?广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC

（2009?广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为54．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OC=1，
∴q=-1，
∵△ABC的面积为

5

4

．
∴

1

2

OC×AB=

5

4

，
解得AB=

5

2

，
设A（a，0），B（b，0），
则a、b是一元二次方程x²+px-1=0两个根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a=

(a+b)2?4ab

=

5

2

，
解得p=±

3

2

，
又∵p＜0，
∴p=?

3

2

．
所以解析式为：y=x²-

3

2

x-1；

（2）令y=0，
解方程得x²-

3

2

x-1=0，
得x₁=-

1

2

，x₂=2，
所以A（?

1

2

，0），B（2，0），
在直角三角形AOC中可求得AC=

5

2

，同样可求得BC=

5

，
显然AC²+BC²=AB²，得三角形ABC是直角三角形．AB为斜边，
所以外接圆的直径为AB=

5

2

，
所以?

5

4

≤m≤

5

4

．

（3）存在，AC⊥BC，
①若以AC为底边，则BD∥AC，易求AC的解析式为y=-2x-1，
可设BD的解析式为y=-2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式为y=-2x+4，
解方程组

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