Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f(x)＝n?g(x)m+2g(x)是奇函数．（1）确定y=g（x）

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f(x)＝n?g(x)m+2g(x)是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m、n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t2）+f（t2-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴8=a³，解得a=2．
∴g（x）=2^x；    
（2）f(x)＝

n?2x

m+2x+1

，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=

n?1

m+2

＝0，解得n=1．
∴f(x)＝

1?2x

m+2x+1

，
又f（-x）+f（x）=0，∴

1?2x

m+2x+1

+

1?2?x

m+2?x+1

＝0，
化为（m-2）（2-2^x-2^-x）=0，
∵上式对于任意实数都成立，∴m-2=0，解得m=2．
∴m=2，n=1； 
（3）由（2）可知：f（x）=

1?2x

2+2x+1

＝

1

2

(

2

1+2x

?1)，
∵函数y=2^x在R上单调递增，∴f（x）在R上单调递减．
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，
∴f（t²-k）＞-f（2t-3t²）=f（3t²-2t）在R上恒成立，
∴t²-k＜3t²-2t在R上恒成立，
即2t²-2t+k＞0在R上恒成立．
∴△=4-8k＜0，解得k＞

1

2

．
∴k的取值范围是k∈(

1

2

，+∞)．