Question

如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M

如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N． 求证：（1）四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F， ∴∠AEC=∠AFC=90°， 又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD， ∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF， ∴∠ACE+∠ACF= 1 2 （∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）= 1 2 ×180°=90°， ∴三个角为直角的四边形AECF为矩形； （2）MN ∥ BC且 MN= 1 2 BC ； 证明：∵四边形AECF为矩形， ∴对角线相等且互相平分， ∴NE=NC， ∴∠NEC=∠ACE=∠BCE， ∴MN ∥ BC， 又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN= 1 2 BC．