Question

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E ，连接BO、ED，有BO ∥ ED，

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E ，连接BO、ED，有BO ∥ ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE= 3 5 ，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE． ∵ED ∥ OB， ∴∠1=∠2，∠3=∠OED． 又OE=OD， ∴∠2=∠OED， ∴∠1=∠3． 又OB=OB，OE=OC， ∴△BCO≌△BEO．（SAS） ∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB． ∴AB是⊙O切线． （2）连接CE， ∵∠F=∠4，CD=2?OC=10； 由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有： ED=CD?sin∠4=CD?sin∠DFE= 10× 3 5 =6 ． ∴ CE= C D 2 -E D 2 = 10 2 - 6 2 =8 ． 在Rt△CEG中， EG CE =sin∠4= 3 5 ， ∴EG= 3 5 ×8= 24 5 ． 根据垂径定理得： EF=2EG= 48 5 ．