Question

已知点P（1，3），圆C：（x-m） 2 +y 2 = 9 2 过点A（1，- 3 2 2 ）

已知点P（1，3），圆C：（x-m） 2 +y 2 = 9 2 过点A（1，- 3 2 2 ），F点为抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．（1）求m的值与抛物线的方程；（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求 BP ? BQ 的取值范围．

Answer 1

（1）点A代入圆C方程，得（1-m） 2 +（- 3 2 2 ） 2 = 9 2 ，解之得m=1． ∴圆C方程为：（x-1） 2 +y 2 = 9 2 ． ①当直线PF的斜率不存在时，不合题意． ②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0． ∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为 |k-0-k+3| k 2 +1 = 3 2 2 ，解之得k=1或-1． 当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去； 当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4， ∴ p 2 =4，可得抛物线方程为y 2 =16x （2）∵P（1，3），B（2，5），∴ BP =(-1，-2) ， 设Q（x，y），得 BQ =(x-2，y-5) ∴ BP ? BQ =-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12． =- 1 16 y 2 -2y+12=- 1 16 （y+16） 2 +28 ∵y∈R，得y=-16时 BP ? BQ 的最大值等于28 因此， BP ? BQ 的取值范围为（-∞，28]．