Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（ 1 2 ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（ 1 2 ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（ x-y 1-xy ）．又数列{a n }满足，a 1 = 1 2 ，a n+1 = 2 a n 1+ a n 2 ．（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数（ II ）求f（a n ）的表达式；（III）设b n = 1 2 log 2 |f( a n+1 ) ，T n 为数列{b n }的前n项和，若T 2n+1 -T n ≤ m 15 （其中m∈N * ）对N∈N * 恒成立，求m的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（ 0-0 1-0×0 ）， 可解得f （0）=0． 再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（ 0-y 1-0?y ），即f （-y）=-f （y）， ∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分） （Ⅱ）令x=a n ，y=-a n ，于是f（a n ）-f（-a n ）=f（ 2 a n 1+ a 2n ）， 由已知得2f （a n ）=f （a n+1 ）， ∴ f( a n+1 ) f( a n ) =2 ， ∴数列{f（a n ）}是以f（a 1 ）=f（ 1 2 ）=-1为首项，2为公比的等比数列． ∴f（a n ）═1×2 n-1 =-2 n-1 …（8分） （III）由（II）得f（a n+1 ）=-2 n ，于b n = 1 2n ． ∴T n =b 1 +b 2 +b 3 +…+b n = 1 2 （1+ 1 2 + 1 3 +… 1 n ）， T 2n+1 = 1 2 （1+ 1 2 + 1 3 +… 1 2n+1 ）， ∴T 2n+1 -T n = 1 2 （ 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n+1 ）． 令k（n）= 1 2 （ 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n+1 ）． 于是k（n+1）= 1 2 （ 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n+3 ）． ∴k（n+1）-k（n）= 1 2 （ 1 2n+2 + 1 2n+3 - 1 n+1 ）=- 1 4(n+1)(2n+3) ＜0． ∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减， ∴k（n） max =k（1）=T 3 -T 1 = 5 12 ， ∴ m 15 ≥ 5 12 即m≥ 25 4 ． ∵m∈N * ， ∴m的最小值为7．…（12分）