Question

如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于

如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.5T．在原点O放一个开有小孔粒子源，粒子源能同时放出比荷为q/m=4.0×10 6 kg/C的不同速率的正离子束，沿与x轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮．入射正离子束的速率在0到最大值v m =2.0×10 6 m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．（1）求离子打到荧光屏上的范围．（2）若在某时刻（设为t=0时刻）沿与x轴成30°角方向射入各种速率的正离子，求经过 5π 3 ×1 0 -7 s时这些离子所在位置构成的曲线方程．（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30°～60°角内进入磁场．则某时刻（设为t=0时刻）在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，求经过 5π 3 ×1 0 -7 s时这些离子可能出现的区域面积．

Answer 1

（1）由 qvB= m v 2 r 得， r= mv qB ， r m = m v m qB =1m 离子在磁场中运动最大轨道半径：r m =1m 由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如左图所示． 所以OA 1 长度为： y=2rcos3 0 0 = 3 m 即离子打到荧光屏上的范围为： [0， 3 m] （2）离子在磁场中运动的周期为： T= 2πm qB =π×1 0 -6 s 由题，经过时间：t= 5π 3 ×1 0 -7 s，则 离子转过的圆心角为  φ= 2π T t= π 3 设 5π 3 ×1 0 -7 s这个时刻某离子的位置坐标为（x，y），则有    y=rcos30°    x=r-rsin30° 所以解得： y= 3 x 就是所求的曲线方程． （3）由几何关系知，与x轴成60°方向入射的离子，经过时间：t= 5π 3 ×1 0 -7 s时离子转过的圆心角为 φ= 2π T t= π 3 刚好打在y轴上，将t= 5π 3 ×1 0 -7 s时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：x=0即都打在y轴上，所以在t=0时刻与x轴成30°～60°内进入磁场的正离子在t= 5π 3 ×1 0 -7 s时刻全部出现在以O为圆心的扇形OA 2 C 1 范围内．如图  则离子可能出现的区域面积： S= π r m 2 12 = π 12 m 2 ≈0.26 m 2 答： （1）离子打到荧光屏上的范围为[0， 3 m ]． （2）经过 5π 3 ×1 0 -7 s时这些离子所在位置构成的曲线方程是y= 3 x． （3）经过 5π 3 ×1 0 -7 s时这些离子可能出现的区域面积为0.26m 2 ．