Question

题目：若定义在R上的函数对任意的x1、x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2成立，且当x>0时，f(x)>-2．

（1）求证：f(x)+2为奇函数；

（2）求证：f(x)是R上的增函数；

（3）若f(1)=-1，f(log 2m)<2求取值范围．
求一题多解

Answer 1

解1对任意的x1、x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2
取x1=x2=0
即f(0+0)=f(0)+f(0)+2
即f(0)=-2
再取x1=x，x2=-x
则f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+2=f(0)=-2
即f(x)+f(-x)+4=0
即f(x)+2=-[f(-x)+2]
即-[f(x)+2]=f(-x)+2
故f(x)+2为奇函数

2设x1，x2属于R且x1＜x2
则f(x2)-f(x1)
=f(x2)-[-f(-x1)-4]
=f(x2)+f(-x1)+4
=f(x2)+f(-x1)+2+2
=f(x2-x1)+2
又由当x>0时，f(x)>-2
且x2-x1＞0
故f(x2-x1)＞-2
即f(x2-x1)+2＞0
即f(x2)-f(x1)＞0
故f(x)是R上的增函数；

3由f(0)=-2,f(1)=-1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=0
f(4)=f(2+2)=2f(2)+2=2
故由f(log 2m)<2

得f(log 2m)<f(4)

又由f(x)是R上的增函数
知log 2m<4
即0＜m＜2^4
即0＜m＜16.

Answer 2

第3小题要转一点小弯