Question

求初等数论中的同余方程，请初等数论高手解决！

求解同余方程f(x)=x^3+8x^2-x-1=0 (mod1331) 谢谢。

Answer 1

注意到，1331=11^3
先找f(x)=x^3+8x^2-x-1≡0 (mod 11)的根。
尝试11-{0}、11-{1}、...、11-{10}即可。

0^3+8×0^2-0-1≡-1 (mod 11)
1^3+8×1^2-1-1≡7 (mod 11)
2^3+8×2^2-2-1≡4 (mod 11)
3^3+8×3^2-3-1≡-4 (mod 11)
4^3+8×4^2-4-1≡0 (mod 11)
5^3+8×5^2-5-1≡0 (mod 11)
6^3+8×6^2-6-1≡2 (mod 11)
7^3+8×7^2-7-1≡1 (mod 11)
8^3+8×8^2-8-1≡3 (mod 11)
9^3+8×9^2-9-1≡3 (mod 11)
10^3+8×10^2-10-1≡7 (mod 11)

因而，可以设x=11p+4或11p+5

————————————————————————————————————
再求mod 121（11×11=121）
当x=11p+4时，代入原方程：
(11p+4)^3+8(11p+4)^2-(11p+4)-1≡0 （mod 121）
于是，
1331p^3+12×121p^2+48×11p+64+8×121p^2+8×88p+8×16-11p-4-1≡0（mod 121）
整理，
1331p^3+20×121p^2+111×11p+187≡0（mod 121）①
111×11p+187≡0（mod 121）
110×11p+11p+121+66≡0（mod 121）
11p+66≡0（mod 121）
于是，

设11p+66=121q
从而p+6=11q
于是，p=5+11s
代入①使用（mod 1331），
1331(5+11s)^3+20×121(5+11s)^2+111×11(5+11s)+187≡0（mod 1331）
20×121(25+110s+121s)+111×11×5+111×11×11s+187≡0（mod 1331）
20×121×25+20×121×110s+20×121×121s+111×11×5+111×11×11s+187≡0（mod 1331）
20×121×25+111×11×5+110×11×11s+11×11s+187≡0（mod 1331）
500×121+555×11+11×11s+187≡0（mod 1331）
495×121+5×121+484×11+71×11+121s+187≡0（mod 1331）
45×11×121+5×121+4×11×11×11+71×11+121s+187≡0（mod 1331）
5×121+71×11+121s+187≡0（mod 1331）
5×121+71×11+121s+187≡0（mod 1331）
13×121+121s≡0（mod 1331）
因而可以设
13×121+121s=1331t
从而13+s=11t
于是s=-2+11m
从而代入回p=5+11s=5-22+121m=-17+121m
再代入回x=11p+4=-187+1331m+4=1331m-183=1331(m-1)+1148
于是，x≡1148（mod 1331）就是一组解。

————————————————————————————————————
当x=11p+5时，代入原方程：
(11p+5)^3+8(11p+5)^2-(11p+5)-1≡0 （mod 121）
于是，
1331p^3+15×121p^2+75×11p+125+8×121p^2+8×110p+8×25-11p-5-1≡0（mod 121）
整理，
1331p^3+23×121p^2+154×11p+319≡0（mod 121）
14×11×11p+319≡0（mod 121）
14×121p+2×121+77≡0（mod 121）
77≡0（mod 121）
矛盾方程，无解。

因而，只有一组解：x≡1148（mod 1331）

【经济数学团队为你解答！】

追答

刚看到你的链接，已经被解决了噢！